直线

一般式(点法式)

$$Ax+By+C=0$$

由斜率可以推出 $(B,-A)$ 为其方向向量
随即不难构造其 法向量 $(A,B)$

距离

点到直线

$$\begin{split} P(x_0,y_0)\\ l: Ax+By+C=0 \end{split}$$

如图, 做如图所示的各元素

$$\begin{split} d&=h\cdot \sin\theta\\ &=h\cdot \cos\alpha \end{split}$$

又

$$tan\alpha=k=-\frac{A}{B}$$

有

$$cos\alpha=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

设 $P$ 经过 $l': Ax+By+C'=0$

有(由 $y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$ 可得)

$$\begin{split} h&=|-\frac{C'}{B}+\frac{C}{B}|\\ &=|\frac{Ax_0+By_0+C}{B}| \end{split}$$

答案呼之欲出

$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$